Algorithmic Algebra

1 Introduction. - 1. 1 Prologue : Algèbre et algorithmes. - 1. 2 Motivations. - 1. 3 notations algorithmiques. - 1. 4 Épilogue. - Notes bibliographiques. - 2 Préliminaires algébriques. - 2. 1 Introduction aux anneaux et aux idéaux. - 2. 2 anneaux polynomiaux. - 2. 3 bases Gröbner. - 2. 4 modules et syszygies. - 2. 5 polynômes S. -Problèmes. - Solutions à des problèmes sélectionnés. - Notes bibliographiques. - 3 Théorie de l’idéal computationnel. - 3. 1 Introduction. - 3. 2 Anneau fortement calculable. - 3. 3 réductions de tête et bases Gröbner. - 3. 4 Calcul de la détachabilité. - 3. 5 Calcul de la syzygie. - 3. 6 Théorème de base de Hilbert : revisité. - 3. 7 applications des algorithmes de bases de Gröbner. -Problèmes. - Solutions à des problèmes sélectionnés. - Notes bibliographiques. - 4 Résolution de systèmes d’équations polynomiales. - 4. 1 Introduction. - 4. 2 ensemble triangulaire. - 4. 3 Un peu de géométrie algébrique. - 4. 4 Trouver les zéros. -Problèmes. - Solutions à des problèmes sélectionnés. - Notes bibliographiques. - 5 jeux de caractéristiques. - 5. 1 Introduction. - 5. 2 Pseudo-division et pseudo-division successive. - 5. 3 jeux de caractéristiques. - 5. 4 Propriétés des ensembles de caractéristiques. - 5. 5 Procédé Wu-Ritt. - 5. 6 Calcul. - 5. 7 Démonstration du théorème géométrique. -Problèmes. - Solutions à des problèmes sélectionnés. - Notes bibliographiques. - 6 Un interlude algébrique. - 6. 1 Introduction. - 6. 2 Domaine de factorisation unique. - 6. 3 Domaine idéal principal. - 6. 4 Domaine euclidien. - 6. 5 Lemme de Gauss. - 6. 6 domaines euclidiens fortement calculables. -Problèmes. - Solutions à des problèmes sélectionnés. - Notes bibliographiques. - 7 Résultantes et sous-résultantes. - 7. 1 Introduction. - 7. 2 Résultantes. - 7. 3 Homomorphismes et résultantes. - 7. 4 Facteurs répétés dans les polynômes et les discriminants. - 7. 5 Polynôme déterminant. - 7. 6 séquences polynomiales de restes. - 7. 7 Sous-résultants. - 7. 8 Homomorphismes et sous-résultantes. - 7. 9 Chaîne sous-résultante. - 7. 10 Théorème de la chaîne sous-résultante. -Problèmes. - Solutions à des problèmes sélectionnés. - Notes bibliographiques. - 8 Algèbre réelle. - 8. 1 Introduction. - 8. 2 vrais champs fermés. - 8. 3 bornes sur les racines. - 8. 4 Théorème de Sturm. - 8. 5 nombres algébriques réels. - 8. 6 Géométrie réelle. -Problèmes. - Solutions à des problèmes sélectionnés. - Notes bibliographiques. - Annexe A : Algèbre matricielle. - A. 1 Matrices. - A. 2 Déterminant. - A. 3 équations linéaires. Langue : Anglais